Produit scalaire

Définition

Le produit scalaire associe à deux vecteurs et un nombre, noté , ayant pour valeur:

Où est l'angle entre et

Propriétés

Produit scalaire d'un vecteur par lui-même

Sachant que , alors

Dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, où les coordonnées sont et les coordonnées sont :

Qui se distribue en:

Dans un repère orthonormé (2)

En utilisant le fait que et , et que , on obtient:

Le même raisonnement fonctionne en 3D

Tester de quel côté d'un hyperplan est un point

Supposons qu'un hyperplan soit défini par un point et une normale .

Exercice comment tester si est d'un côté (vert) ou de l'autre (rouge) ?

On suppose que l'on connaît les coordonnées de , et .

Tester de quel côté d'un hyperplan est un point

On peut simplement regarder le signe du produit scalaire:

Tester de quel côté d'un hyperplan est un point

Exercice Application, avec:

est-il du côté vert ou rouge?

Le point est donc du côté rouge.

Projeter un point sur une droite

Une droite passe par un point et se dirige dans la direction du vecteur unitaire

Exercice comment trouver le point , projeté de sur la droite?

On suppose que l'on connaît les coordonnées de , et .

Projeter un point sur une droite

On peut remarquer que la distance indiquée sur la figure: est égale , car

On a donc

Norme d'un vecteur

Exercice quelle est la norme d'un vecteur ?

On suppose que l'on connaît les coordonnées de

Norme d'un vecteur

Puisque , alors:

---

En 2D:

En 3D:

Angle entre deux vecteurs

Exercice comment trouver l'angle entre deux vecteurs et ?

On suppose que l'on connaît les coordonnées de et de

Angle entre deux vecteurs

Puisque le produit scalaire est, par définition:

Alors:

Nous savons maintenant trouver l'angle entre deux vecteurs, y compris en 3D!

Distance entre deux villes

On approxime la Terre par une sphère de rayon . On attache un repère au centre.

Les coordonnées d'une ville peuvent être décrite par la longitude et la latitude .

Exercice Soit deux villes et de coordonnées et .
Comment calculer la distance entre ces deux villes?

Distance entre deux villes

Indications:

• Exprimer les coordonnées des villes en coordonnées cartésiennes.
• Calculer l'angle entre les deux vecteurs et
• En déduire la distance

Distance entre deux villes

On pourra s'aider des vues en tranche suivantes:

Distance entre deux villes

On peut remarquer que:

Et donc:

Distance entre deux villes

Nous pouvons alors utiliser:

Pour trouver l'angle entre les deux vecteurs et .

Distance entre deux villes

Enfin, la distance entre les deux villes est, par définition des radians:

Distance entre deux villes

import numpy as np

r = 6371 # Rayon de la terre [km]

def longlat_to_xyz(long, lat):
    l = r*np.cos(lat)
    return l*np.cos(long),  l*np.sin(long),  r*np.sin(lat)

def distance_villes(long1, lat1, long2, lat2):
    x1, y1, z1 = longlat_to_xyz(long1, lat1)
    x2, y2, z2 = longlat_to_xyz(long2, lat2)
    dot_product = (x1*x2 + y1*y2 + z1*z2)
    angle = np.arccos(dot_product / (r**2))
    return angle * r

bordeaux = (np.deg2rad(-0.57918), np.deg2rad(44.837789))
new_york = (np.deg2rad(-74.006), np.deg2rad(40.7128))
print(distance_villes(*bordeaux, *new_york))
# 5801.7705