Un repère 2D est composé de:
Les coordonnées (cartésiennes) d'un point dans un repère sont les nombres tels que:
Nous noterons ces coordonnées .
Exercice Trouvez:
Pour , qui a comme coordonnées dans , on peut remarquer que sa position est au dessus de .
On a donc:
De la même manière, pour , on peut remarquer son alignement avec la diagonale indiquée sur la figure.
Avec , on peut tout d'abord calculer les coordonnées polaires de .
Rayon: Angle:
En appliquant la conversion vue précédemment, on obtient:
Soit .
Comment trouver ?
Le terme (1) correspond à la position de dans , c'est à dire
C'est l'origine du repère de départ, exprimé dans le repère d'arrivé
Le terme (2) correspond aux coordonnées du vecteur dans .
C'est un changement de base.
Concentrons nous sur le changement de base. Rappelez vous que:
Supposons que l'on connaisse les valeurs des telles que:
On pourrait alors substituer:
En réarrangeant les termes:
On trouverait donc
Exercice Exprimez en fonction de .
On a:
À l'aide de la formule précédente, on obtient donc:
Cette formule doit être familière: c'est une rotation de coordonnées!
Nous noterons cette opération
)
prend des coordonnées exprimées dans la base de et les exprime dans la base de .
En 2D, est une rotation de coordonnées, d'un angle .
est l'angle direct entre le premier vecteur de et le premier vecteur de .
Nous pouvons à présent compléter la formule de changement de repère:
sont les coordonées de dans .
Enfin, sont les coordonées de dans , c'est à dire .
En partant de:
On peut alors écrire:
En appliquant des deux côtés:
Exercice Pensez-vous à un autre nom pour le terme (1) ?
La formule de changement de repère est vraie dans l'autre sens:
Donc, dans:
Le terme (1) est en fait , c'est à dire la position de dans .
On utilisera un repère robot et un repère monde , comme dans la figure ci-contre.
Exercice Le robot se situe en , et son orientation est . Il voit le point en .
Où est le point P dans le monde ?
On peut appliquer la formule de changement de repère:
Où est une rotation de :
Ce qui donne:
Exercice Le robot est équipé d'une boussole, qui lui donne son orientation . Il perçoit le point P en . Ce point se trouver dans le monde en .
Où se trouve le robot dans le monde?
Formule du changement de repère:
On peut simplement déplacer les termes:
On obtient alors:
Exercice Le point se situe en dans le monde. Le robot se situe en dans le monde. Il avance tout droit (c'est à dire le long du vecteur ) et arrive en .
Où se situe le point dans le repère robot?
Si le robot a avancé droit:
Si on pose:
Alors l'orientation du robot est:
Dans notre problème:
Soit:
On peut maintenant appliquer:
Attention: ici, est une rotation de
On obtient:
Exercice Le point P se situe en dans le repère robot, lui même situé en avec .
Le robot se déplace, et arrive en avec .
Quelles sont les coordonnées de dans le repère robot à présent?
1. Exprimer dans le monde
2. Exprimer dans