Sur les figures, les vecteurs des bases sont colorés en:
On rappelle que dans un repère orthonormé, les vecteurs de la base sont unitaires et orthogonaux.
En 3D, il y a deux choix possibles pour l'orientation de la base, directe et indirecte (cf figure)
On peut retrouver ces vecteurs avec la convention de la main droite, comme indiqué sur la figure
L'opération du produit vectoriel, permet d'obtenir le vecteur à partir de et
Les rotations dans le sens direct sont comme indiquées sur la figure.
Ce sens correspond au sens de l'enroulement de la main autour du pouce:
En 3D, la matrice de rotation est:
La -ème colonne de sont les coordonnées du -ème vecteur de la base exprimées dans la base .
Exercice À partir de la figure, exprimez les matrices
, , , , , ,
De la même manière qu'en 2D, la transposée de la matrice de rotation est son inverse:
Souvenez vous qu'une rotation en 2D se calcule avec:
Exercice Trouvez une expression de , et , les matrices de rotation 3D autour des axes , et .
Il est possible de construire une rotation 3D à partir de 3 rotations successives:
On appelle , et des angles d'Euler.
L'ordre de ces transformations est important!
Les termes roulis, tangage et lacet sont utilisés pour décrire les rotations autour des axes , et respectivement.
En 3D, on peut utiliser des matrices de transformations :
Rappelons que l'inverse d'une matrice de transformation est:
Les 4 matrices suivantes sont respectivement les matrices de rotation autour des axes , et , et la matrice de translation:
,
Exercice Calculez à partir de l'inverse de , et vérifiez que vous obtenez le résultat attendu.
Supposons un repère monde , et un repère comme sur la figure.
Quel effet auront les transformations suivantes?
Prenons les coordonnées d'un point exprimées dans le repère
À gauche:
Les coordonnées de sont exprimées dans , puis tournées autour de l'axe .
À droite:
Les coordonnées sont tournées autour de l'axe dans , puis exprimées dans .