Repères et coordonnées

Points et vecteurs

Point

Un point est un objet mathématique permettant de localiser une position dans l'espace.

Graphiquement, on le représentera par une lettre majuscule.

Vecteurs géométriques

Un vecteur géométrique représente le déplacement d'un point à un autre.

Il est représenté par une flèche, et noté , où est le point de départ, et le point d'arrivée.

Vecteurs géométriques

Attention: Les vecteurs n'ont pas de position dans l'espace.

Le vecteur représente uniquement le déplacement de vers , il n'est pas "ancré" sur .

Si on déplaçait de , on obtiendrait un nouveau point (noté ici ).

Vecteurs géométriques

Somme de vecteurs géométriques

Il est possible de sommer des vecteurs.

Intuitivement, se déplacer de à , puis de à , revient à se déplacer de à .
C'est la relation .

Somme de vecteurs géométriques

Cette somme est commutative.

On peut le constater en déplaçant les vecteurs et .

Norme de vecteurs géométriques

On notera la norme du vecteur .

Cette norme correspond à la distance entre les points et .

Multiplication de vecteurs géométriques par un scalaire

La multiplication d'un vecteur par un scalaire correspond à étirer ou contracter le vecteur, en préservant sa direction.

Normalisation

En multipliant par , on obtient un vecteur de norme 1.

On obtient un vecteur dit unitaire, on appelle ce processus la normalisation.

Rotation de vecteurs géométriques

On notera la rotation de d'un angle .

Repères

Repère

Un repère est composé de:

• Un origine ,
• Une base de vecteurs et

Repère orthonormé

Un repère est dit orthonormé si les vecteurs de sa base sont:

• perpendiculaires deux à deux (en 2D: )
• unitaires (en 2D: )

Convention de couleur

Sur les figures, les vecteurs des bases sont colorés en:

• rouge (x)
• vert (y).
• En 3D, le vecteur bleu (z) est ajouté.

Coordonnées de point

Les coordonnées (cartésiennes) d'un point dans un repère sont les nombres tels que:

Nous noterons ces coordonnées .

Coordonnées de vecteur

Les coordonnées du vecteur sont signifie que

Nous noterons ces coordonnées .

Remarque: l'origine du repère n'intervient pas dans les coordonnées du vecteur.

Coordonnées de vecteur

Exercice: montrez que les coordonnées de la somme de deux vecteurs, par exemple , sont la somme des coordonnées de et .

Coordonnées de vecteur

Par définition:

Alors:

Si et , on notera

Coordonnées de vecteur

Supposons que l'on connaisse les coordonnées et de deux points dans .

On peut remarquer que:

Et donc:

Coordonnées de vecteur

Si on note et , alors:

Les coordonnées de correspondent à la variation respectivement en et en

Coordonnées de point

Si est l'origine du repère , alors .

Coordonnées polaires

Les coordonnées polaires de sont le rayon et l'angle tels que:

Dans ce cas,

Conversion

Exercice trouver les fonctions de conversion suivantes:

Polaire vers cartésien:
Cartésien vers polaire:

Conversion

De polaire vers cartésien

Il suffit d'utiliser la définition même du cosinus et du sinus:

Conversion

De cartésien vers polaire

On peut remarquer le triangle rectangle formé sur la figure, on a alors:

: vraiment ?

Le problème de l'arc tangente

De cartésien vers polaire

La conversion n'est pas satisfaisante!

Exercice Décrivez une méthode qui gère tous les cas. Vous pouvez vous aider de la figure.

Le problème de l'arc tangente

Le problème de l'arc tangente: correction

Le problème de l'arc tangente: correction

La formule gère correctement tous les cas où (car )

On peut gérer les cas particuliers où .

Dans le cas où , on peut utiliser .

Le problème de l'arc tangente: correction

En assemblant tous les cas, et en faisant un arrangement pour ramener les valeurs entre et , on obtient:

import numpy as np
def xy_to_alpha(x, y):
    if x > 0:
        return np.arctan(y / x)
    elif x < 0 and y >= 0:
        return np.arctan(y / x) + np.pi
    elif x < 0 and y < 0:
        return np.arctan(y / x) - np.pi
    elif x == 0 and y > 0:
        return np.pi / 2
    elif x == 0 and y < 0:
        return -np.pi / 2
    else:
        return 0

Le problème de l'arc tangente

def xy_to_alpha(x, y):
    # C'est plus court!
    return np.arctan2(y, x)

* Attention à l'ordre des arguments!

Conversion

On obtient donc les formules suivantes:

Tirer dans la balle

Sur un terrain de football, on attache un repère comme indiqué sur la figure. La balle est représentée par le point et la cible de tir par le point .

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Exercice Comment trouver les coordonnées et l'orientation du robot afin qu'il se place à une distance de la balle en étant aligné avec le centre des cages?

Tirer dans la balle

Pour la position

On part de la position de la balle, et on la prolonge de dans la direction du vecteur .

Pour l'orientation

Si on note
On a alors

Rotation

Rotation

Exercice Le point a pour coordonnées cartésiennes dans .
Proposez une formule pour obtenir , les coordonnées cartésiennes de après une rotation de autour de .

Indication:

Rotation

Appelons les coordonnées polaires de .

Les coordonnées polaires de sont donc . Ce qui donne les coordonnées cartésiennes:

Rotation

En appliquant les identités trigonométriques:

Rotation

On a donc:

Ce qui nous fournit une implémentation simple de la rotation en terme de coordonnées.