Changement de repère:
Changement de repère inverse:
En 2D, est une rotation de coordonnées, d'un angle .
Comme nous allons le voir, l'algèbre matriciel permet de résoudre ces problèmes.
Une matrice est un tableau de nombres organisés en lignes et colonnes.
On dit que est de taille si elle a lignes et colonnes.
Un vecteur est une matrice de taille .
Note: nous utilisons des vecteurs colonnes, qui sont les plus standard.
Une addition de matrices, , est définie si et sont de même taille.
Dans ce cas, l'addition est effectuée élément par élément.
La multiplication d'une matrice par un scalaire se fait également élément par élément
La transposée d'une matrice est notée .
Elle est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de .
Si est de taille , alors est de taille .
Note: Le vecteur colonne peut être noté .
Pour multiplier la matrice par la matrice , il faut que le nombre de colonnes de soit égal au nombre de lignes de .
Si est de taille et est de taille , alors le produit est de taille .
Exercice Pour chacun des produits ci-dessous, indiquez si il est possible:
À présent, calculez les produits possibles.
Le produit scalaire du vecteur avec le vecteur peut donc être écrit comme:
Chaque terme du produit matriciel est un produit scalaire.
Par exemple, est le produit scalaire entre le vecteur et le vecteur .
Une matrice identité est une matrice carrée dont les éléments diagonaux sont égaux à 1 et les autres éléments sont égaux à 0.
Pour toute matrice de taille , on a et
La matrice identité est l'élément neutre de la multiplication matricielle.
L'inverse de , notée , est une matrice telle que:
La multiplication de matrices est associative et distributive
Multiplication et transposés
Multiplication et inverse
Système:
Notation matricielle:
Les systèmes d'équations linéaires peuvent s'écrire sous forme de produit matriciel.
On peut donc résoudre un système d'équation linéaire à l'aide de l'inverse de :
Jusqu'à présent, nous avons noté les coordonnées .
Nous utiliserons maintenant des vecteurs colonnes pour représenter les coordonnées: , ou encore .
Souvenez-vous de la formule de changement de base:
Ce changement de base est une opération linéaire, qui peut être représentée par un produit matrice-vecteur:
La matrice est ce qu'on appelle une matrice de rotation.
En 2D, toutes les matrices de rotation peuvent être obtenues à partir d'un angle .
Exercice À partir de la matrice ci-contre, montrez que
On peut écrire:
Qui se développe en:
Comme, , alors .
Exercice
Si on sait exprimer:
Quels sont les termes de ?
Appellons les coordonnées d'un point dans .
Par définition:
En remplaçant les vecteurs de base par leurs expressions:
En réorganisant les termes:
Sous forme matricielle, si on appelle les coordonnées de dans :
sont les coordonnées de sont les coordonnées de
Ils apparaissent dans les colonnes de :
La -ème colonne de sont les coordonnées du -ème vecteur de la base exprimées dans la base .
On pourrait d'ailleurs écrire:
Exercice À partir de cette notation, montrez à nouveau que
On aurait:
Ce qui donne:
Comme , et , alors .
L'inverse d'une matrice de rotation est sa transposée, .
Par conséquent, si est la matrice de rotation de vers , alors est la matrice de rotation de vers .
En 2D, on peut représenter toutes les matrices de rotation à partir d'un angle :
Intuitivement, une rotation de devrait annuler une rotation de . Vérifiez que
Et remarquer que est paire, et que est impaire, donc:
Et .
La formule de changement de repère reste la même:
Cependant:
Un changement de repère se fait en deux étapes:
Le changement de repère s'écrit:
Notons:
, ,
Alors:
On peut réécrire ce système sous cette forme:
En gardant ajoutant le à la fin de tous nos vecteurs de coordonnées, on peut écrire:
On appelle une matrice de transformation
En 2D, les matrices de transformations sont de la forme: